Fungsi Kuadrat | Materi Kuliah Kalkulus


Fungsi f pada R yang ditentukan oleh: f(x) = ax2 + bx + c dengan a, b, dan c bilangan real dan  disebut fungsi kuadrat.
Jika f(x) = 0 maka diperoleh persamaan kuadrat  ax2 + bx + c = 0. Nilai-nilai x yang memenuhi persamaan itu disebut nilai pembuat nol fungsi f.
Nilai fungsi f untuk x = p ditulis f(p) = ap2 + bp + c.
Contoh 1:
Ditentukan: f(x) = x2 – 6x – 7
Ditanyakan:
  1. nilai pembuat nol fungsi f
  2. nilai f untuk x = 0 , x = –2
Jawab:
  1. Nilai pembuat nol fungsi f diperoleh jika f(x) = 0
x2 – 6 x – 7 = 0
(x – 7) (x + 1) = 0
x = 7  atau  x = –1
Jadi pembuat nol fungsi f adalah 7  dan –1
  1. Untuk  x = 0   maka f(0) = –7
x = –2  maka f(–2) = (–2)2 – 6 (–2) – 7 = 9
Contoh 2:
Tentukan nilai p agar ruas kanan f(x) = 3 x2 + (p – 1) + 3 merupakan bentuk kuadrat sempurna.
Jawab :
Supaya merupakan suatu kuadrat sempurna, syaratnya D = 0.
D = (p – 1)2 – 4 . 3 . 3 = 0
p2 – 2p – 35 = 0
(p – 7) (p + 5) = 0
p = 7   atau   p = –5
Jadi, agar ruas kanan f(x) merupakan suatu kuadrat sempurna, maka p = 7 atau p = –5.
Periksalah jawaban itu.
  1. 2. Nilai Maksimum dan Minimum Fungsi Kuadrat
Untuk menentukan nilai maksimum/minimum fungsi kuadrat, perhatikan uraian berikut:
1)       f(x) = x2 – 2x – 3
= x2 – 2x + 1 – 4
=(x – 1)2 – 4
Bentuk kuadrat selalu bernilai positif atau nol, maka (x – 1)2 mempunyai nilai paling kecil (minimum) nol untuk x = 1. Dengan demikian (x – 1)2 – 4 mempunyai nilai terkecil 0 – 4 = –4.
Jadi, f(x) = x2 – 2x – 3 mempunyai nilai terkecil (minimum) –4 untuk x = 1.
2)       f(x) = –x2 + 4x + 5
= –x2 + 4x – 4 + 9
= –(x2 – 4x + 4) + 9
= –(x – 2)2 + 9
Nilai terbesar dari – (x – 2)2 sama dengan nol untul x = 2.
Dengan demikan nilai terbesar dari – (x – 2)2 + 9 adalah 0 + 9 = 9.
Jadi, f(x) = –(x – 2)2 + 9 atau f(x) = –x2 + 4x + 5 mempunyai nilai terbesar (maksimum) 9 untuk x = 2.
Sekarang perhatikan bentuk umum  f(x) = ax2 + bx + c
Dengan uraian di atas, diperoleh:
Fungsi kuadrat f(x) = a x2 + b x + c
Untuk a > 0, f mempunyai nilai minimum  untuk
Untuk a < 0, f mempunyai nilai maksimum  untuk
Contoh:
Tentukan nilai minimum fungsi f(x) = 2x2 + 4x + 7
Jawab:
f(x) = 2x2 + 4x + 7  ,  a = 2  ,  b = 4  , c = 7
Nilai minimum fungsi f = 5
Latihan 5
  1. Diketahui: f(x) = x2 – 4x – 6
Ditanya:        a. nilai pembuat nol fungsi
b. nilai f(x) , jika x = 0
c. f(2) , f(–1) , f(p)
  1. Tentukan nilai minimum atau maksimum dari fungsi berikut ini:
  2. Fungsi kuadrat f(x) = 2x2 – px + 3 mempunyai nilai minimum untuk x = 2. Hitunglah nilai minimum itu!
  3. Nilai maksimum f(x) = ax2 + 4x + a adalah 3. Hitunglah nilai a !
  4. Selisih dua bilangan positif adalah 3. Tentukan kedua bilangan itu agar hasilkalinya minimum!
  5. Suatu fungsi kuadrat mempunyai nilai minimum –2 untuk x = 3, dan mempunyai nilai 6 untuk x = 1. Tentukan fungsi kuadrat tersebut!
  1. f(x) = x2 + 4x + 4
  2. f(x) = 2x2 – 4x + 3
  3. f(x) = –3 x2 + 12x – 8
  4. f(x) = –7 + 12x – 3x2
  5. f(x) = (2x + 1) (x =- 3)
  6. f(x) = (2x – 1)2
  1. 3. Grafik Fungsi Kuadrat





Grafik fungsi kuadrat  f : x ® y = a x2 + b x + c grafiknya berbentuk parabola.
Gambar 7.1                                                           Gambar 7.2
Perhatikan Gambar 7.1 dan 7.2
  • Titik A dan titik B adalah titik potong dengan sumbu-X.
  • Titik C merupakan titik potong grafik dengan sumbu-Y.
  • Titik P merupakan titik balik/puncak parabola.
  • Garis yang melalui puncak dan sejajar dengan sumbu-Y disebut sumbu simetri.
Cara melukis grafik fungsi kuadrat dengan menentukan:
1)       Titik potong grafik dengan sumbu-X.
Titik potong itu terletak pada sumbu-X sehingga absis titik tersebut diperoleh jika y = 0, maka
a x2 + b x + c = 0. Karena a x2 + b x + c = 0 merupakan persamaan kuadrat, maka banyaknya titik potong dengan sumbu-X tergantung pada D (diskriminan).
D > 0 ®  terdapat dua titik potong yang berlainan, yaitu (x1 , 0)  dan  (x2 , 0).
D = 0 ®   terdapat satu titik potong yang disebut titik singgung.
D < 0 ®  tidak mempunyai titik potong dengan sumbu-X.
2)       Titik potong dengan sumbu-Y.
Karena titik potong terletak pada sumbu-Y, maka ordinat titik potong itu diperoleh jika x = 0. Sehingga koordinatnya (0 , c).
3)       Sumbu simetri
Karena sumbu simetri adalah garis yang melalui titik puncak dan sejajar sumbu-Y maka persamaan sumbu simetri adalah:
4)       Titik Puncak/ Balik
Koordinat titik puncak
Catatan:
  • Grafik fungsi kuadrat dengan persamaan y = a x2 + b x + c berbentuk parabola.
  • Parabola terbuka ke atas jika a > 0.
  • Parabola terbuka ke bawah jika a < 0.
Contoh:
Buatlah sketsa grafik y = x2 – 2x – 3  untuk x e R.
Jawab:
Titik potong dengan sumbu-X diperoleh jika y = 0.
x2 – 2x – 3 = 0
(x – 3) (x + 1) = 0
x = 3   dan  x = –1
Koordinat titik potongnya adalah : A(3 , 0) dan B(–1 , 0)
Titik potong dengan sumbu-Y diperoleh jika x = 0
y = 0 – 0 – 3 = – 3
Koordinat titik potongnya C(0 , –3)
Sumbu simetri, garis
Titik puncak  ® D(1 , –4)
Hubungkan titik-titik A, B, C, dan D serta perhalus, sehingga diperoleh grafik  fungsi
y = x3 – 2x – 3.
Latihan 6
  1. Tentukan koordinat titik potong grafik fungsi kuadrat berikut ini, dengan sumbu koordinat:
  1. y = x2 – 4x – 5                                                                  c.   y = -2x2 + 5x – 3
  2. y = x2 + 4x + 4                                                                  d.   y = 2x2 – 5x + 4
  1. Tentukan koordinat titik puncak/balik grafik fungsi pada soal no. 1 di atas!
  1. Grafik fungsi kuadrat y = 2x2 – px + 3  mempunyai sumbu simetri garis x = 2. Tentukan koordinat titik puncak !
  1. Gambarlah sketsa grafik fungsi kuadrat berikut ini dengan langkah-langkah:
  1. y = x2 – 6x + 8
  2. y = x2 – 2
  3. y = (x – 5)2 e.   y = –x2 + 3
  4. y = 16 – x2 f.   y = x2 + 2x + 2
4.     Menentukan Fungsi Kuadrat yang Grafiknya Memenuhi Syarat-syarat Tertentu
Suatu fungsi kuadrat dapat ditentukan apabila fungsi itu:
  1. melalui tiga titik yang berlainan.
  2. memotong sumbu-X dan melalui sebuah titik lain.
  3. melalui sebuah titik dan koordinat titik terendah/tertinggi diketahui.
  4. menyinggung sumbu-X dan melalui sebuah titik.
  1. a. Fungsi kuadrat yang grafiknya melalui tiga buah titik
Contoh:
Tentukan persamaan grafik fungsi kuadrat yang melalui titik (–1 , 0) , ( 1 , 8 ) dan ( 2, 6 ).
Jawab :
Misal persamaan grafik adalah  y = a x2 + b x + c
Grafik melalui titik (–1 , 0)  ®  0 = a(–1)2 + b (–1) + c
0 = a – b + c ………………. (1)
Grafik melalui titik (1 , 8)  ®    8 =a (1)2 + b (1) + c
8 = a + b + c ………………. (2)
Grafik melalui titik ( 2 , 6 )  ®  6 = a (2)2 + b (2) + c
6 = 4 a + 2 b + c …………… (3)
Dari persamaan (1), (2), dan (3) dapat ditentukan nilai a, b, dan c dengan cara eliminasi.
(1)   a – b + c = 0 (2)    a +   b + c = 8                               a – b + c = 0
(2)   a + b + c = 8                                 (3)   4a + 2b + c = 6                            –2 – 4 + c = 0
–2b = –8                                       3a –   b = 2                                            c = 6
b = 4                                               – 3a – 4 = 2
a = –2
Jadi, fungsi kuadrat itu adalah   y = –2x2 + 4x + 6.
b.      Fungsi kuadrat yang grafiknya memotong sumbu-X
Misalkan titik potongnya (p , 0) dan (q , 0).
(p , 0) dan (q , 0) memenuhi persamaan y = a x2 + b x + c sehingga  0= ap2 + bp + c dan
0= aq2 + bq + c . Kedua persamaan itu dikurangkan, akan diperoleh:
0 = a(p2 – q2) + b(p – q)
b(p – q) = –a(p2 – q2)
= –a(p + q) (p – q)
b = – a(p + q)
Substitusikan b = – a(p + q)   ke   ap2 + bp + c = 0
ap2 + (– a(p + q)) p + c = 0
ap2 – ap2 – pqa + c = 0
c = pqa
Untuk  b = – a(p + q)  dan  c = pqa maka
y = a x2 + b x + c Û  y = ax2 – a(p + q)x + pqa
= a(x2 – (p + q)x + pq)
= a(x – p) (x – q)
Jadi, y = a(x – p) (x – q) adalah fungsi kuadrat yang grafiknya memotong sumbu-X di (p,0) dan (q,0).
Contoh:
Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya memotong sumbu-X di titik (–5,0) dan (1,0), serta melalui titik (–3, –8) !
Jawab:
Grafik memotong sumbu-X di titik (–5,0) dan (1,0), maka fungsi kuadratnya
y = a(x – (–5)) (x – 1)
= a(x + 5) (x – 1)
Grafik melalui titik (–3, –8), berarti
–8 = a(–3+5) (–3  – 1)
=  –8a
a = 1
Substitusikan a = 1 pada  y = a(x + 5) (x – 1) sehingga diperoleh   y = x2 + 4x – 5.
Jadi, fungsi kuadratnya adalah y = x2 + 4x – 5.
  1. c. Menentukan fungsi kuadrat jika koordinat titik puncak grafik fungsi itu diketahui
Koordinat titik tertinggi/ terendah grafik fungsi kuadrat y = ax2 + bx + c adalah .
Dengan melihat kembali kajian terdahulu, maka fungsi kuadrat  y = ax2 + bx + c dapat
dinyatakan dengan .
Sehingga fungsi kuadrat yang berpuncak di (p , q) adalah  y = a (x – p)2 + q
Contoh:
Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya mempunyai titik tertinggi (1,3) dan melalui titik (0,0).
Jawab:
Fungsi kuadrat yang grafiknya berpuncak di (1,3) adalah  y = (x – 1)2 + 3
Grafik melalui titik (0,0) berarti:
0 = a(0 – 1) + 3
0 = a + 3
a = –3
Substitusikan a = –3 pada   y = a (x – 1)2 + 3 maka diperoleh
y = –3 (x – 1)2 + 3
y = –3 (x2 – 2x + 1) + 3
y = –3x2 + 6x
Jadi, fungsi kuadratnya adalah y = –3x2 + 6x.
d.   Fungsi kuadrat yang grafiknya menyinggung sumbu-X
Perhatikan kembali bahasan tentang “Titik potong grafik dengan sumbu-X”. Grafik akan menyinggung sumbu-X jika dan hanya jika b2 – 4ac = 0, maka koordinat titik tertinggi atau terendah adalah (,0).
Sehingga .
Jadi, fungsi kuadrat yang grafiknya menyinggung sumbu-X adalah  .
Sehingga fungsi kuadrat yang grafiknya menyinggung sumbu X adalah y = a(x – p)2
Contoh:
Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya menyinggung sumbu-X di titik (2,0) dan melalui titik (0,4) !
Jawab:
Fungsi kwadrat yang grafiknya menyinggung sumbu X di (2,0) adalah
y = a (x – 2)2
Grafik melalui titik (0,4) berarti :
4 = a(0 – 2)2 = 4a
a = 1
Jadi, fungsi kuadrat itu y = 1(x – 2)2 atau  y = x2 – 4x + 4.
Latihan 7
  1. Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya melalui titik (–2, 12), (1, –3), dan (5, 5) !
  2. Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya melalui titik (3, –2), (5, 4), dan (1,-1 !
  3. Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya memotong sumbu-X di titik (2, 0), dan (4, 0) serta melalui titik (0, 2) !
  4. Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya memotong sumbu-X di titik (4, 0) dan (1, 0) serta melalui titik (2, –2)
  5. Koordinat titik puncak grafik fungsi kuadrat adalah (–1, 1). Tentukan fungsi kuadrat itu jika grafiknya melalui titik (0, 1) !
  6. Koordinat titik puncak grafik fungsi y = ax2 + bx + 5 adalah (4, 9). Tentukan fungsi kuadratnya!
  7. Suatu parabola menyinggung sumbu-X di titik (–2, 0) dan melalui titik (0, –1). Tentukan persamaan parabola!
  8. Sebuah fungsi kuadrat mempunyai nilai tertinggi –3 untuk x = 2, sedangkan grafiknya melalui titik
(–2, –11). Tentukan fungsi kuadratnya!
  1. Suatu fungsi kuadrat, grafiknya memotong sumbu-X di titik (2, 0) dan (5, 0), sedang fungsi itu mempunyai nilai maksimum 9. Tentukan fungsi kuadrat tersebut!
  2. Grafik fungsi y = (p+3)2 – 2(p – 1)x + (2p – 5) mempunyai titik puncak yang absisnya p. Tentukan fungsi kuadrat itu.
 Semoga bermanfaat & terima kasih!
Diposting oleh di
Label:

Tidak ada komentar:

Posting Komentar

Langganan: Posting Komentar (Atom)